组合数
2026年2月2日从n个不同元素中取出k个元素的所有不同组合的个数，叫做组合数。组合数有许多种（相反的）记法：\(C_n^k,\; C_k^n,\; \binom{n}{k}\)。本文采用上大下小的记法。 \(\binom{n}{k}\)的计算方式如下： 若\(n\geqslant k \geqslant 0\)，则 […]
数学的一般概念，介绍该知识的目的不是为了写代码。
从n个不同元素中取出k个元素的所有不同组合的个数，叫做组合数。组合数有许多种（相反的）记法：\(C_n^k,\; C_k^n,\; \binom{n}{k}\)。本文采用上大下小的记法。 \(\binom{n}{k}\)的计算方式如下： 若\(n\geqslant k \geqslant 0\)，则 […]
pass@k本质上是计算组合数。标准公式是一个取反公式：\(1-\frac{\binom{n-c}{k}}{\binom{n}{k}}\), assuming \(\binom{n}{k}\) means choosing k from n. And c is the number of corre […]
premise p and conclusion c Direct proof Prove \(p \to c = \neg p \vee c = T\). If we stick with direct proof, the expression to prove must have an out […]
The Fibonacci numbers, commonly denoted F(n) form a sequence, called the Fibonacci sequence, such that each number is the sum of the two preceding one […]
本文将故意采用同余符号（\(a\equiv c\pmod b\)），让本文看起来酷炫一点。 When a and b are integers and \(b \neq 0\) we say “a divides b”, and write \(a|b\). In other […]
春季美墨边境有3500位走线移民者，法院至少接受1位，至多接受全部的避难申请。请问总共有多少种接受方法？注意：该数字很大，只需要写出该数字除以\(10^9+7\)的余数。 解答： 每个走线者，要么被接受要么不被接受，有2种可能。所以有\(2^{3500}\)种可能。但不能所有人都不被接受，所以答案是 […]
Median, mean, and mode are the most common measures of central tendency. Norms In mathematics, a norm measures the “distance” from a point […]
离散型随机变量的数学期望 若离散型随机变量X的概率质量函数为f(x)，则其期望为 \[ E(X)=\sum_i^n x_if(x_i) \] 例：伯努力分布的数学期望 设Z服从伯努力分布，求Z的数学期望。 解： 伯努力分布是两点分布，可知其概率质量函数为 \[ f(x)=\begin{cases} […]
首先定义函数[latex]f:R^{m \times n} \rightarrow R[/latex]，也就是函数f的输入是一个m行n列的矩阵，输出是一个数值。 那么函数 f(A) 的梯度就是对A中的每一个元素求偏导数得到的矩阵（也就是说梯度是一个矩阵）: \[ \nabla_X f(X) = \b […]