向量复习
2019年2月26日向量的坐标表示法
令点a的坐标为[latex](x_0,y_0)[/latex]，点b的坐标为[latex](x_1,y_1)[/latex]，则
\[\begin{equation}
\vec{ab}=\overrightarrow{(x_1-x_0,y_1-y_0)}
\label{坐标表示法}
\end{equation}\]
向量的模
向量的模表示向量的大小，记为[latex]|\boldsymbol{a}|[/latex] 或[latex]|\vec{a}|[/latex]。[1]模是绝对值在二维和三维空间的推广，可以认为是向量的长度。推广到高维空间中称为范数。[2]
模为1的向量叫单位向量。向量[latex]\vec{a}[/latex]的单位向量为[latex]\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}[/latex]。
例：[latex]\vec{a}=\overrightarrow{(3,4)}[/latex]，求其单位向量[latex]\vec{a_0}[/latex]。
\[
\vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\overrightarrow{(3,4)}}{|(3,4)|}=\frac{\overrightarrow{(3,4)}}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\overrightarrow{(3,4)}}{5}=\overrightarrow{(0.6,0.8)}
\]
向量点积
向量点积，又称数量积，是向量进行点乘运算的结果。相当于两个数相乘，乘出来的结果叫做积。
两个向量[latex]\vec{a}=(a_1, a_2, \cdots, a_n)[/latex]和[latex]\vec{b}=(b_1, b_2, \cdots, b_n)[/latex]的点积有如下多种定义：
\[\begin{equation}
\vec{a}\cdot \vec{b}= \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n
\label{代数定义}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\vec{a}\cdot \vec{b}= \det\left(\vec{a}^T\vec{b}\right)
\label{矩阵定义}
\end{equation}\]
注，矩阵相乘的结果始终为矩阵，1*1的矩阵不是标量，所以这里需要对1*1矩阵求行列式，得出标量。不严谨的文献或作者往往省去最后一句行列式运算。
\[\begin{equation}
\vec{a}\cdot \vec{b}= \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \cos \theta \qquad \theta\text{为}\vec{a}\ \vec{b}\text{的夹角}
\label{几何定义}
\end{equation}\]
以上[latex]\eqref{代数定义}[/latex]为代数定义，[latex]\eqref{矩阵定义}[/latex]为[latex]\eqref{代数定义}[/latex]的矩阵改写，[latex]\eqref{几何定义}[/latex]为几何定义。
若要求两向量的夹角，可把公式[latex]\eqref{几何定义}[/latex]变换为
\[\begin{equation}
\cos \theta= \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{ \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right|}
\label{cos}
\end{equation}\]
求投影向量的长度
给定一个向量[latex]\vec{u}[/latex]和[latex]\vec{v}[/latex]，求[latex]\vec{u}[/latex]在[latex]\vec{v}[/latex]上的投影向量，如下图。
令[latex]\vec{u}[/latex]在[latex]\vec{v}[/latex]上的投影向量为[latex]\vec{u’}[/latex]，且[latex]\vec{u}[/latex]和[latex]\vec{v}[/latex]的夹角为[latex]\theta[/latex]。从[latex]\vec{u}[/latex]的末端做[latex]\vec{v}[/latex]的垂线，那么d就是[latex]\vec{u’}[/latex]的长度，即[latex]\left|\vec{u’}\right|[/latex]。
\[\begin{align*}
d=& \left| \vec{u’} \right| = \left|\vec{u} \right| \cos \theta \qquad \text{应用公式}\eqref{cos}\\
=& \left|\vec{u} \right| \times \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{ \left|\vec{u}\right| \left|\vec{v}\right|}=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{ \left|\vec{v}\right|}
\end{align*}\]
所以，向量[latex]\vec{u}[/latex]在[latex]\vec{v}[/latex]上的投影长度为
\[
d=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{ \left|\vec{v}\right|}
\]
如果[latex]\vec{u}[/latex]于[latex]\vec{v}[/latex]的夹角大于90度，则距离为负，需要取绝对值，所以一般化的公式为
\[\begin{equation}
d=\left|\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{ \left|\vec{v}\right|}\right|
\label{向量投影长度}
\end{equation}\]
求点到直线的距离
已知直线l: Ax+By+C=0和点P [latex](x_0,y_0)[/latex]，d为点P到直线l的距离。直线的方向向量为[latex]\overrightarrow{(B,-A)}[/latex]，则其法向量[latex]\vec{a}=\overrightarrow{(A,B)}[/latex]。又设点Q [latex](x_1,y_1)[/latex]为直线上的任一点，故有[latex]Ax_1+By_1+C=0[/latex]（如图所示）
变换问题为，求向量[latex]\overrightarrow{QP}[/latex]在[latex]\vec{a}[/latex]上的投影长度。
根据公式[latex]\eqref{坐标表示法}[/latex]，[latex]\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{(x_0-x_1,y_0-y_1)}[/latex]
根据公式[latex]\eqref{向量投影长度}[/latex]，
\[\begin{align*}
d=& \left|\frac{\overrightarrow{QP}\cdot \vec{a}}{\left | \vec{a} \right |}\right| \\
=& \left|\frac{\overrightarrow{(x_0-x_1,y_0,y_1)}\cdot \overrightarrow{(A,B)} }{\left|\overrightarrow{(A,B)} \right| }\right| \\
=& \left|\frac{A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1) }{\sqrt{A^2+B^2}}\right| \\
=& \left|\frac{Ax_0+By_0+(-Ax_1-By_1)}{\sqrt{A^2+B^2}}\right| \\
=& \left|\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|
\end{align*}\]
若用公式\eqref{矩阵定义}把直线公式改写为矩阵点积的形式，则直线表示为[latex]\det{(\vec{w}^T\vec{x}+\vec{b})}=0[/latex]。任意一点到该直线的距离为
\[
d=\frac{\left|\vec{w}^Tx+b \right|}{\left \| \vec{w} \right \|}
\]
这里分子的竖线表示取绝对值，分子的双竖线表示范数。
参考资料
- 蕭文達. 第四章 向量. 朝陽科技大學. [2019-02-26].
- zdd. 向量投影. 博客园. 2010-08-03 [2019-02-26].
- 杨胜万. 谈“点到直线距离公式”的向量推导方法. 贵州省黄平县旧州中学. 2007-11-22 [2019-02-26].
- 耳东陈. 零基础学SVM—Support Vector Machine(一). 朝陽科技大學. 2018-05-07 [2019-02-26].
参考资料
- . 第一节 向量及其线性运算. 西安建筑科技大学. [2019-02-26].↑
- . 向量的模. 百度百科. [2019-02-26].↑