推导

给定下列列表（4指回2），若有快慢两个指针，慢指针每次前进一步，快指针每次前进两步，求两指针何处相遇？

1-2-3-4
  |___|

解：

设两指针前进n次。n必定大于等于1。

[MathematicaIn n=”1″/]Reduce[Mod[n – 1, 3] == Mod[2n – 1, 3], n, Integers][MathematicaOut n=”1″/][latex]c_1\in \mathbb{Z}\land n=3 c_1[/latex]

然后寻找满足上述条件（Out[1]）的最小的n。

[MathematicaIn n=”2″/]FindMinimum[{3c, 3c > 1, Element[c, Integers]}, c][MathematicaOut n=”2″]{3., {c -> 1}}

所以n=3，即slow、fast两指针在4处相遇。

一般化：给定一个单链表，前面非循环部分有a个节点（长度为a），后面循环部分有l个节点（长度为l）。求快慢两指针走多少次后相遇？

同理，设前进n次后相遇。（n>a）

快指针的位置=慢指针的位置

[latex]\begin{align}
&(2n-a) \% l=(n-a) \% l  &\\
\Rightarrow &2n-a\equiv n-a \pmod{l} &\quad \text{公式1}\\
\Rightarrow & n \equiv 0 \pmod{l} & \quad \text{公式2}\\
\therefore & n=kl (k\geqslant  0) &
\end{align}[/latex]

公式1是同余表达式，读作2n-a和n-a在模l下同余，[latex]\equiv[/latex]不是全等的意思，mod不是5 mod 3=2的意思。公式2应用同余的性质，等号右边移到左边抵消掉。（注意到[latex]\pmod{l}[/latex]前的空格没有？mod l表示对前面等号的左边和右边同时取余数）

所以n是l的倍数。n不一定等于l，因为n必须大于a，而a与l的关系未知。

因为[latex]n\neq l[/latex]，所以[latex]2n-n=kl\neq l[/latex]。这里就证明了Bluefeather说的“fastVal – slowVal equals the size of the loop”^[1]是错误的。

能否求出l的具体值呢？答案是可以的。根据GoCalf^[2]，两指针相遇后，快指针暂停慢指针继续走，两指针第二次相遇时，慢指针走的次数就是环长。

求环长

给定任意带环链表，慢指针第二次遇到快指针时走的次数为该带环链表的环长。

求非循环长度

已知环长后，可以求非循环部分的长度a。

获取甲乙两个慢指针，甲先走l次，然后甲乙一起走。因为甲乙步长相同，他们之间始终保持l的差距。当乙第一次进入循环节时，由于甲乙差距为l，l为循环节长度，所以甲跟乙相遇。这时乙所走的步数就是a。

参考资料

1. Bluefeather. Share my O(n) complexity and constant space code. Keep the original list. Any comments. . 2014-12-12 [2015-01-08].↑
2. GoCalf. 检测单向链表是否存在环. . 2011-10-14 [2015-01-08].↑